воскресенье, 7 сентября 2014 г.

формулы для простых чисел.

http://www.ega-math.narod.ru/Quant/


 Ю. В. Матиясевич




Что требуется?

Простые числа разбросаны в натуральном ряду очень прихотливым образом, и не удивительно, что издревле математики стремились найти «формулу для простых чисел». Такими формулами можно называть формулы, обладающие разными свойствами, и здесь очень важно понять, что нам требуется на самом деле.
Самая простая формула для простых чисел выглядит, по-видимому, так:
p = pn , (1)

где pn обозначает n-е простое число. Чем же эта формула не устраивает нас? Дело в том, что правая часть этого равенства вычисляется слишком сложным образом — попробуйте, например, самостоятельно найти p1975! Мы же хотим получить аналогичную формулу с возможно более простым способом вычисления правой части (однако, как мы увидим, простота вычислений — понятие совсем не очевидное). Это, так сказать, программа-максимум.
Ради простоты формулы можно отказаться от требования явной зависимости от номера n и искать формулы, дающие простые числа, быть может, не по порядку. Далее, можно отказаться от желания задать одной формулой сразу все простые числа и требовать только того, чтобы формула давала бесконечно много простых чисел. Можно, наконец, допустить, чтобы эта формула давала наряду с бесконечно многими простыми числами и некоторые составные числа. Это — программа-минимум.
Формулы, кажущиеся очень простыми, на деле могут оказаться не лучше формулы (1). Именно к таким примерам мы сейчас и переходим.

Теорема Е. М. Райта

В 1947 году В. X. Миллс опубликовал следующий результат:
Существует вещественное число λ такое, что при любом n = 1, 2, ... число
[ λ3ⁿ ] (2)

является простым 1.
Впоследствии появился ещё ряд формул такого же типа. Однако все это были результаты, формулировка которых выглядит заманчивой и многообещающей, но доказательство разочаровывает. Тому, кто хочет понять, почему это так, мы предлагаем разобраться в доказательстве следующей теоремы Е. М. Райта:
Существует вещественное число μ такое, что всякое число вида
[
22		...2μ ]

(3)

является простым.
Ключевым пунктом в доказательстве теоремы Райта является так называемый постулат Бертрана. Согласно этому постулату при x≥4 между x и 2x–2 всегда есть простое число. Эту гипотезу впервые высказал французский математик Бертран: доказать её он не смог, а потому использовал в своих рассуждениях в качестве недоказуемого постулата. Доказательство гипотезы Бертрана было найдено впоследствии выдающимся русским математиком П. Л. Чебышёвым 2.
Чтобы найти нужное число μ выберем сначала последовательность простых чисел q1, q2, ..., такую, что при любом n=1, 2, ...
qnqn+1
2 < qn+1 < 2 – 1.

(4)

(В качестве q1 можно взять любое простое число, возможность же неограниченного продолжения последовательности {qn} с соблюдением неравенства (4) гарантирует постулат Бертрана.)
Обозначим для краткости число

22		...2α

где берётся n возведений в степень, через exp2nα, a обратную функцию,
log2 log2 ... log2 β

— через log 2nβ.
Попробуем выбрать число μ так, чтобы при n=1, 2, ...
[exp2nμ] = qn .(5)

Согласно определению целой части числа равенство (5) эквивалентно неравенству
qn ≤ exp2nμ < qn + 1.

Прологарифмировав его n раз по основанию 2, получим ещё одно двойное неравенство, эквивалентное (5):
log 2nqn ≤ μ < log 2n(qn + 1).(6)

Проверьте сами, что из (4) следует
log 21q1 < log 22q2 < ... < log 2nqn < log 2n+1qn+1 < ...
... < log 2n+1(qn+1 + 1) < log 2n(qn + 1) < ... < log 22(q2 + 1) < log 21(q1 + 1).

Таким образом, последовательность
log 21q1,  log 22q2,  ...,  log 2nqn,  ...

строго возрастает и ограничена сверху; следовательно, она имеет предел. Его-то мы и возьмём в качестве числа μ; докажите, что так выбранное μ удовлетворяет даже более сильному, чем (6),неравенству
log 2nqn < μ < log 2n(qn + 1),(7)

и, следовательно, равенство (5) справедливо. Теорема Райта доказана.
Основным недостатком формул (2) и (3) является то, что они (точнее, их доказательства) не дают никакого способа находить новые простые числа, ибо чтобы вычислить какое-либопростое число по формулам (2) или (3), нужно числа λ и μ знать с достаточной точностью. Таким образом, формулы (2) и (3) в некотором смысле являются всего лишь замаскированными (и ухудшенными) вариантами формулы (1). Кроме того, вид формул (2) и (3) на самом деле почти ничего не говорит именно о множестве простых чисел. Из доказательства теоремы Райта видно, что формулы, аналогичные (2), (3), можно указать для любого «достаточно густого» множества.
Недостатки формул (2) и (3) порождены тем, что в них входят вещественные числа λ и μ, задаваемые неким косвенным образом. В дальнейшем мы будем рассматривать лишь формулы, в которые входят только целочисленные коэффициенты. Такие формулы обладают важным преимуществом: они могут быть (в принципе) выписаны явно.

Простые числа Мерсенна и Ферма

Формулы Миллса, Райта и другие подобные формулы остались изолированными фактами, не приведшими к новым результатам. Однако в других случаях возможность представить некоторые простые числа в том или ином специальном виде имеет неожиданные и глубокие следствия.
Рассмотрим сейчас две формулы, имеющие совсем простой вид:
 p = 2n – 1,(8)
 p = 2n + 1.(9)

Очевидно, что формула (8) не всегда даёт простые числа; например, если n — составное число, n = kl, k>1, l>1, то p делится на 2k — 1 и на 2l — 1. Но и при простом n получающееся поформуле (8) число может оказаться составным:
211 – 1 = 2047 = 23 · 89.

Простые числа, получающиеся по формуле (8), называются числами Мерсенна в честь Марена Мерсенна, который ещё в 1664 году указал все простые значения n, не превосходящие 257, для которых, по его мнению, формула (8) даёт простые числа. Однако Мерсенн не дал доказательства; впоследствии выяснилось, что его предсказание было частично ошибочным.
Интерес к числам Мерсенна вызван их связью с так называемыми совершенными числами — числами, равными сумме всех своих делителей, отличных, конечно, от самого числа. Ещё Евклид доказал (докажите и вы), что если простое число p имеет вид, указанный в формуле (8), то число p(p+1)/2 является совершенным. Например,
3 = 22 – 1,       7 = 23 – 1

простые числа, и соответственно
6 =(3 · 4)/2 = 1 + 2 + 3,
28 =(7 · 8)/2 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14

— совершенные числа. Спустя несколько столетий Леонард Эйлер доказал (попробуйте и здесь свои силы), что все чётные совершенные числа имеют вид, указанный Евклидом. Таким образом, вопрос, конечно или бесконечно множество чётных совершенных чисел, свёлся к вопросу, конечно или бесконечно множество простых чисел Мерсенна, то есть к вопросу, реализует ли формула (8) нашу программу-минимум. Ответ на этот вопрос не известен до сих пор 3.
Формула (9) также не всегда даёт простые числа, например, если n имеет простой нечётный делитель m, то p делится на 2n/m + 1, а если n само нечётно, то p делится на 3. Таким образом, вместо n в формулу (9) имеет смысл подставлять только 0 и степени числа 2. При n=0, 20, 21, 22, 23 и 24 формула (9) действительно даёт простые числа, и Пьер Ферма, живший в XVII веке, высказал предположение, что и при любом n вида 2k формула (9) даёт простое число; в его честь простые числа вида 22k + 1 получили название чисел Ферма. Гипотезу Ферма опроверг Эйлер, указавший, что число 225 + 1 делится на 641. В настоящее время известно несколько значений n вида 2k, при которых по формуле (9) получаются составные числа, но не найдено ни одного нового простого числа Ферма, отличного от указанных выше.
Простые числа Ферма обнаруживают неожиданную связь с геометрией. Выдающийся немецкий математик Карл Фридрих Гаусс доказал, что правильный p-угольник можно построить циркулем и линейкой при простом p в том и только том случае, когда p — число Ферма 4. Более общий результат таков: правильный m-угольник допускает построение циркулем и линейкой тогда и только тогда, когда m = 2s· p1 p2 ...pk , где p1, p2, ..., pk — попарно различные простые числа Ферма.

Скатерть Улама

Формулы (8) и (9) содержат возведение в степень. А нельзя ли для задания бесконечно многих простых чисел обойтись лишь сложением, вычитанием и умножением? Поищем ответ на этот вопрос.
Начнём с рассмотрения многочленов от одной переменной с натуральными коэффициентами; посмотрим, какие многочлены будут своими значениями иметь простые числа и в каком количестве.
Возьмём вначале многочлены первой степени (то есть линейные многочлены). Очевидно, что тривиальный многочлен x задаёт бесконечно много простых чисел, более того, все простые числа, но это неинтересный случай. А что можно сказать о многочлене ax+b (где a, b и x — натуральные числа)? Ясно, что если a и b имеют общий делитель, отличный от 1, то значение многочлена ax+b — число составное, кратное этому делителю. Случай же, когда a и b взаимно просты, гораздо менее очевиден.
Французский математик Лежандр (живший в XVIII веке) высказал гипотезу, что если a и b взаимно просты, то в арифметической прогрессии с первым членом b и разностью a встречается бесконечно много простых чисел. Эта гипотеза была доказана лишь в XIX столетии немецким математиком Леженом Дирихле.
Перейдём теперь к квадратным многочленам. Среди них есть «рекордсмены», например, многочлен x2 + x + 41 — его изучал ещё Леонард Эйлер. Этот многочлен принимает простые значения при x = 1, 2, ..., 40. При x = 41 его значение — составное.
Доказано, что никакой многочлен (отличный, разумеется, от константы) не может иметь в качестве значений только простые числа, но до сих пор не известно, существует ли многочлен (кроме линейного), среди значений которого встречается бесконечно много простых чисел.
Интерес к представлению простых чисел в виде значений квадратных многочленов недавно возродился в связи с неожиданным наблюдением С. М. Улама 5. Начав на спирали из всех натуральных чисел (рис. 1) отмечать простые числа, Улам с удивлением обнаружил, что простые числа выстраиваются по диагоналям, образуя довольно длинные цепочки. (Докажите, что числа, расположенные вдоль какой-либо диагонали в пределах, ограниченных на рис. 1 красными линиями — это значения некоторого квадратного многочлена с целыми коэффициентами).
197196195194193192191190189188187186185184183
198145144143142141140139138137136135134133182
199146101100999897969594939291132181
20014710265646362616059585790131180
20114810366373635343332315689130179
20214910467381716151413305588129178
20315010568391854312295487128177
20415110669401961211285386127176
20515210770412078910275285126175
20615310871422122232425265184125174
20715410972434445464748495083124173
20815511073747576777879808182123172
209156111112113114115116117118119120121122171
210157158159160161162163164165166167168169170
211212213214215216217218219220221222223224225
Рис. 1.

Ещё более удивительным оказалось то, что закономерность эта наблюдалась и тогда, когда спираль была продолжена (с помощью компьютера) до больших чисел — на рис. 2 светлыми точками отмечены простые числа на спирали из первых 10 000 чисел. Узор, изображённый на рис. 2, получил название «скатерть Улама».

Рис. 2.

Чтобы отмеченная закономерность проявилась, не обязательно начинать спираль с единицы. Например, значения многочлена x2 + x + 41 выстраиваются по диагоналям у спирали, начинающейся с числа 41 (рис. 3).
5756555453
5845444352
5946414251
6047484950
6162636465
Рис. 3.

Возможно, что читатели «Кванта», проявив изобретательность и должное терпение, смогут найти новые красивые «геометрические» закономерности расположения простых чисел среди множества всех чисел.
Феномен со стремлением простых чисел располагаться в цепочки вдоль диагоналей был обнаружен сравнительно недавно и ещё не получил какого-либо математического объяснения.
О представлении простых чисел с помощью многочленов от многих переменных мы скажем в конце статьи.

Экспоненциальный многочлен Джулии Робинсон

Экспоненциальные многочлены отличаются от обычных тем, что в них показателями степени могут быть не только конкретные натуральные числа, но и линейные многочлены от переменных с натуральными коэффициентами, то есть многочлены вида
a1x1 + a2x2 + ... + ak xk + b,

где a1, a2, ..., ak , b — целые неотрицательные числа.
Простейшими примерами экспоненциальных многочленов от переменной n являются правые части формул (8) и (9).
В дальнейшем мы всегда будем предполагать, что все встречающиеся у нас переменные принимают целые положительные значения.
В 1952 году американский математик Джулия Робинсон 6 опубликовала следующий замечательный результат:
Существует экспоненциальный многочлен R(x0, ..., xk ), такой, что
  • любое его положительное значение при целых положительных значениях переменных является простым числом;
  • любое простое число можно представить в таком виде.
В результате получается такая «формула для простых чисел»:
p = R(x0, ..., xk ). (10)

Эта формула замечательна вот чем. Во-первых, в неё входят только целые числа, и потому, в отличие от формул Миллса, Райта и им подобных, формула Джулии Робинсон может быть выписана явно. Во-вторых, она задаёт все простые числа, а не только какие-то избранные из них, в отличие от всех рассмотренных выше формул. В-третьих, хотя формула (10) задаёт и не только простые числа, у нас есть очень простой способ отсеивания «лишних» чисел: каждое не простое значение R при целых положительных значениях неизвестных не превосходит нуля. Этим формула Джулии Робинсон выгодно отличается от формул (8) и (9), а также и от только что рассмотренных полиномиальных формул 7.
Доказательство Джулии Робинсон совершенно элементарно. Ниже излагаются его основные идеи; доведение же доказательства до формальной строгости мы оставляем читателям: все промежуточные результаты сформулированы в виде пяти лемм, — их-то и нужно доказать. Как мы увидим, из этих лемм следует не только существование экспоненциального многочлена R, но и его явный вид.

Что мы должны сделать?

Чтобы доказать теорему Джулии Робинсон, мы, очевидно, должны указать экспоненциальный многочлен R такой, что уравнение (10) разрешимо в натуральных числах относительно переменных x0, ..., xk тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие:
p — простое число.(11)

Это — пример условия на переменную p.
Приведём ещё несколько примеров условий на набор переменных
λ1, ..., λn, x0, ..., xk .(11′)

Если мы потребуем, чтобы набор чисел (11) удовлетворял системе уравнений вида
Fi(λ1, ..., λn, x0, ..., xk ) = 0     (i = 1, ..., s),(11″)

или допустим словесное описание типа: «все λi — простые числа», или «λ1 — простое число, x0, ..., xk — чётные числа» и т.д., то тем самым мы из множества всех наборов (11′) выделимнекоторые, подчиняющиеся наложенному на них  условию.
Мы не станем точно определять, условия какого вида являются для нас допустимыми. Приведённое описание примеров условий достаточно для оправдания того способа действий, которым мы в дальнейшем будем пользоваться.
В последующем изложении мы будем различать переменные, называя некоторые из них параметрами, так что деление переменных на параметры и неизвестные у нас является чисто условным.
Если все левые части системы уравнений (11″) являются экспоненциальными многочленами от λ1, ..., λn, x0, ..., xk , и решения этой системы ищутся в целых положительных числах, то такая система называется экспоненциально диофантовой; если Fi — обыкновенные многочлены, то система уравнений (11″) называется просто диофантовой.
Уравнение (10) является примером экспоненциально диофантова уравнения относительно переменных p, x0, ..., xk .
Мы будем говорить, что две системы условий, имеющие одни и те же параметры, эквивалентны друг другу относительно этих параметров, если множество тех значений параметров, при которых имеет решение одна из этих систем, совпадает со множеством тех значений параметров, при котором имеет решение и другая система. (Обратите внимание, что в этом определении ничего не говорится о связи значений неизвестных — для наших целей это неважно, эквивалентные в нашем понимании системы могут вообще не иметь общих неизвестных.)
Примером эквивалентных условий относительно параметра λ, могут служить неравенство
2n < λ < 2n+1

и равенство
λ = (2x0 + 1)·x1.

Ясно, что каждое из этих условий имеет решение тогда и только тогда, когда параметр λ принадлежит множеству чисел, не являющихся целыми степенями числа 2.
В этой терминологии наша цель формулируется так: найти экспоненциальный многочлен R(x0, ..., xk ), такой, что условие (10) эквивалентно условию (11) относительно параметра p.
Однако требование, чтобы параметр p стоял только в левой части равенства (10), является, как мы сейчас увидим, излишне жёстким.
Пусть удалось найти экспоненциальный многочлен Q(p, x1, ..., xk ), такой, что экспоненциально диофантово уравнение (условие на p, x1, ..., xk )
Q(p, x1, ..., xk ) = 0(12)

эквивалентно условию (11).
Положим
R(x0, ..., xk ) = x0·(1 – Q 2(x0, ..., xk )).(13)

Лемма 1. Если экспоненциальные многочлены R и Q связаны соотношением (13), то уравнения (10) и (12) эквивалентны относительно параметра  p.
Нам достаточно даже найти не уравнение, а хотя бы систему экспоненциально диофантовых уравнений
ì
í
î
 Q1( p, x1, ... , xk ) = 0,
 ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  ·  · 
 Ql( p, x1, ... , xk ) = 0,
(14)

эквивалентную условию (11) относительно p.
Лемма 2. Если
 l
 Q( p, x1, ... , xk ) = ∑ Qi2( p, x1, ... , xk ),
i=1
то система (14) эквивалентна уравнению (12).
Именно поиском системы экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентной условию (11), мы и будем заниматься.

Что такое простое число?

«Странный вопрос, — удивится читатель. — Каждый знает, что простое число — это число, большее единицы, которое делится только на единицу и на себя». Конечно, это так, но с таким определением работать нелегко — ведь оно предполагает, что проверка простоты числа состоит в переборе бесконечного числа потенциальных делителей — всех натуральных чисел, кроме 1 и самого числа. Лучше сказать так: число p является простым, если p>1 и p не делится ни на какое число, меньшее p и отличное от 1. Для наших же целей больше подходит следующее определение: число p является простым, если p>1, и для любого числа q, меньшего p, Н.О.Д.(q, p) = 1. 8
В этом определении нет ограничения q ≠ 1 и, что более важно, оно позволяет переменное число условий Н.О.Д.(1, p) = 1, Н.О.Д.(2, p) = 1, ..., Н.О.Д.(p–1, p) = 1 свести в одно условие:
Н.О.Д.((p–1)!, p) = 1.

Сделанное замечание позволяет нам написать первую систему условий, эквивалентную условию (11) относительно параметра  p:
ì
í
î
 p = r + 1,
 s = r!,
 Н.О.Д.(s, p) = 1.
(15)
(16)
(17)

Первое из этих условий имеет искомый вид экспоненциально диофантова (более того, диофантова) уравнения, а третье легко приводится к такому же виду за счёт введения двух новых неизвестных:
Лемма 3. Условие (17) эквивалентно относительно параметров p, s условию 9
 x1· s – x2· p = 1.(18)

Так как уравнение (18) экспоненциально диофантово, то нам осталось лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентную относительно параметров r и sусловию (16).

Как вычислить факториал?

В условие (16) входит r!; этот-то факториал и «мешает» нам. Вспомним, что факториал фигурирует в выражении для биномиальных коэффициентов 10: при t ≥ r
( t
r		) =  
 t(t – 1) ... (t – r + 1)
r!
 ,

то есть
r! =  t(t – 1) ... (t – r + 1)
(tr)
 .

Многочлен, стоящий в числителе, имеет довольно сложную структуру. Попытаемся заменить его более простым — а именно, многочленом tr. При t ≥ r имеем:
tr
(tr)
 = tr
 t(t – 1) ... (t – r + 1)
 · r! = 
= (1 + 1
t – 1
)(1 + 2
t – 2
) · ... · (1 + r – 1
t – r + 1
) · r! ≥ r!.
(19)

Легко видеть, что
 r! = lim
 t→∞ 		tr
(tr)
 ,
(20)
 

однако эта запись факториала нам ничего не даст, поскольку t, будучи параметром в искомой системе уравнений, сможет принимать любые, сколь угодно большие, но конечные значения. Но мы и не будем переходить к пределу, а воспользуемся целочисленностью r! — из (19) и (20) следует, что при достаточно больших t
 r! =  tr
(tr)
  .
(21)
 

Лемма 4. Формула (21) верна как только t≥2rr+2.
Лемма 4 позволяет преобразовать условие (16) в эквивалентную ему относительно параметров r и s систему (проверьте эквивалентность!)
ì
ï
í
ï
î
 t = 2rr+2,
 c = (tr),
 tr = s · c + (x3 – 1),
 (x3 – 1) + x4 = c.
 (22)
 (23)
 (24)
 (25)
Здесь условия (22), (24) и (25) имеют требуемый вид, и нам остаётся лишь найти систему экспоненциально диофантовых уравнений, эквивалентных условию (23) относительно параметровr, t и c.
Итак, нам осталось «избавиться» от биномиального коэффициента.

Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты бинома!

Только что мы использовали выражение биномиальных коэффициентов через факториал; но биномиальные коэффициенты имеют много и других определений. Воспользуемся теперь тем, что
 t
(u + 1)t = ∑ (ti)ui.
i=0
(26)
Эта формула является определением биномиальных коэффициентов, если рассматривать её как тождество относительно u. Но нам нужно, чтобы u было неизвестной, принимающей в каждом конкретном решении искомой системы лишь одно значение.
Заметим, что
 t
(ti) ≤ ∑ (ti) = (1 + 1)t = 2t,
i=0
(27)
и, таким образом, если
 u > 2t,(28)

то (t0), (t1), ..., (tt) — это цифры в записи числа (u+1)t в позиционной системе счисления с основанием u. Следовательно, биномиальные коэффициенты однозначно определяются тем условием, что равенство (26) и неравенства (27) и (28) одновременно выполнены хотя бы при одном значении  u.
Лемма 5. Условие (23) эквивалентно относительно параметров r, t, c системе условий
ì
ï
í
ï
î
 u = 2t + 1,
 x5 = u + 1,
 x5t = x6ur+1 + cur + x7,
 x7 + x8 = ur,
 c + x9 = u. 
(29)
(30)
(31)
(32)
(33)
Здесь все условия уже имеют необходимый нам вид.
Итак, мы показали, что условие (11) эквивалентно относительно параметра p системе, состоящей из экспоненциально диофантовых уравнений (15), (18), (22), (24), (25), (29)–(33). Чтобы получить требуемый экспоненциальный многочлен, осталось переименовать переменные r, s, t, c и u в x10, x11, x12, x13, x14, объединить по лемме 2 все уравнения в одно и преобразовать по лемме 1это уравнение к искомому виду (10).

Дальнейшие шаги

Формула (10) не содержит явно номера задаваемого ею простого числа. Описанный выше способ построения экспоненциального многочлена R не даёт прямого пути для включения номера простого числа в формулу (10). Используя существенно более сложную технику, Мартин Дейвис, Хилэри Патнам и Джулия Робинсон в 1961 году доказали одну очень сильную теорему, которая имеет такое следствие.
Существует экспоненциальный многочлен P(n, x0, ..., xk ) такой, что при каждом фиксированном значении параметра n и произвольных значениях остальных переменных, многочлен Pпринимает ровно одно положительное значение, и этим значением является n-е простое число.
В 1970 году автору этой статьи удалось, используя другие результаты Джулии Робинсон, построить такое диофантово уравнение:
M(a, b, c, z1, ..., zm) = 0, (34)

которое разрешимо тогда и только тогда, когда параметры a, b и c связаны соотношением a = bc. Этот результат позволяет опустить в формулировке предыдущей теоремы слово «экспоненциальный», то есть позволяет построить многочлен, задающий простые числа. Об этом, однако, мы поговорим в другой раз. Те же читатели, кого заинтересовала подобная тематика и кого не страшат трудности, могут попробовать самостоятельно разобраться в статье автора «Диофантовы множества», опубликованной в журнале «Успехи математических наук», т. XXVII, № 5, 1972 год.

Темы для размышлений

1.
Докажите, что в арифметических прогрессиях 3, 7, 11, ... и 5, 11, 17, ... бесконечно много простых чисел.
2.
Каково множество тех многочленов, значения которых лежат вдоль диагонали, если спираль (см. рис. 1)
• начата с 1?
• начата с некоторого числа u?
• начата с некоторого числа u, и по спирали стоят члены арифметической прогрессии u, u + v, u + 2v, ...?
3.
Теорема Вильсона утверждает, что если p — простое число, то (p–1)! + 1 делится на p. Как можно использовать этот результат, чтобы уменьшить число неизвестных в экспоненциальноммногочлене R, задающем простые числа?
4.
Постройте экспоненциальный многочлен S(x0, ..., xk ), который задаёт множество полусумм простых чисел-близнецов, т.е. такой многочлен, что если S(x0, ..., xk ) > 0, то оба числаS(x0, ..., xk ) – 1 и S(x0, ..., xk ) + 1 являются простыми, и наоборот, если s – 1 и s + 1 — простые числа, то S(x0, ..., xk ) = s при некоторых x0, ..., xk .
5.
Постройте экспоненциальный многочлен T(q, x0, ..., xm ), такой, что
• если q — простое число, то существуют числа x0, ..., xm  такие, что T(q, x0, ..., xm ) > 0;
• если q — простое число и T(q, x0, ..., xm ) > 0, то T(q, x0, ..., xm ) — простое число, следующее за q;
• если q не является простым числом, то всегда T(q, x0, ..., xm ) ≤ 0.
Этот экспоненциальный многочлен даёт «формулу для следующего простого числа».

Примечания
1.
Здесь и далее [α] обозначает целую часть числа α, то есть наибольшее целое число, не превосходящее α. назад к тексту
2.
Прочитать об этом доказательстве можно в статье М. И. Башмакова, «Квант», 1971, № 5, или в заметке С. Б. Стечкина «Простое доказательство теоремы Чебышёва о простых числах» (УМН, 1968, № 5, с. 221–222, DjVu, 17 Кб).— E.G.A.. назад к тексту
3.
Об истории и современном состоянии исследований по совершенным числам и простым числам Мерсенна вы можете прочитать в статье И. Я. Депмана, «Квант», 1971, № 8, или в обзорной статье Вальтера Боро «Дружественные числа» из книги «Живые числа» (М., «Мир», 1985, DjVu, 1875 Кб). См. также с. 132–134 в книге Р. Грэхема, Д. Кнута и О. Паташника «Конкретная математика» (М., «Мир», 1998) и цитируемую там литературу. — E.G.A.. назад к тексту
4.
Подробнее об этом открытии тогда ещё совсем молодого Гаусса рассказано в статье С. Г. Гиндикина, «Квант», 1972, № 1, или в книге «Рассказы о физиках и математиках» (М., МЦНМО, 2001, PDF, 7275 Кб) того же автора, в главе, посвящённой Гауссу. — E.G.A.. назад к тексту
5.
Как было сделано это наблюдение, красочно рассказывает М. Гарднер в «Математических досугах» (М., «Мир», 1972). Вот этот кусочек (с. 413–417):
В зависимости от расположения целых чисел простые числа могут образовывать тот или иной узор. Однажды математику Станиславу М. Уламу пришлось присутствовать на одном очень длинном и очень скучном, по его словам, докладе. Чтобы как-то развлечься, он начертил на листке бумаги вертикальные и горизонтальные линии и хотел было заняться составлением шахматных этюдов, но потом передумал и начал нумеровать пересечения, поставив в центре 1 и двигаясь по спирали против часовой стрелки. Без всякой задней мысли он обводил все простые числа кружками. Вскоре, к его удивлению, кружки с поразительным упорством стали выстраиваться вдоль прямых. На рис. 203 показано, как выглядела спираль со ста первыми числами (от 1 до 100). [Это усечённая на два оборота версия вышеприведённого рисунка 1, поэтому я его не привожу. — E.G.A.] Для удобства числа вписаны в клетки, а не стоят на пересечении линий.
Вблизи центра выстраивания простых чисел вдоль прямых ещё можно было ожидать, поскольку плотность простых чисел вначале велика и все они, кроме числа 2, нечётны. Если клетки шахматной доски перенумеровать по спирали, то все нечётные числа попадут на клетки одного и того же цвета. Взяв 17 пешек (соответствующих 17 простым числам, не превосходящим числа 64) и расставив их наугад на клетки одного цвета, вы обнаружите, что пешки выстроились вдоль диагональных прямых. Однако не было оснований ожидать, что и в области больших чисел, где плотность простых чисел значительно меньше, те также будут выстраиваться вдоль прямых. Улама заинтересовало, как же будет выглядеть его спираль, если её продолжить до нескольких тысяч простых чисел.
В вычислительном отделе Лос-Аламосской лаборатории, где работал Улам, имелась магнитная лента, на которой было записано 90 млн. простых чисел. Улам вместе с Майроном Л. Стейном и Марком Б. Уэллсом составили программу для вычислительной машины MANIAC, позволившую нанести на спираль последовательные целые числа от 1 до 65 000. Получившийся при этом узор (иногда его называют «скатертью Улама») изображён на рис. 204. [А это уже расширенная версия вышеприведённого рисунка 2, поэтому я его привожу. — E.G.A.] Обратите внимание на то, что даже у края картины простые числа продолжают послушно укладываться на прямые.

Рис. 204. Фотографии нарисованного компьютером узора («скатерти Улама»), на которых видно, чтопростые числа выстраиваются вдоль прямых:
простые числа взяты в интервале от 1 до 10 000;
простые числа взяты в интервале от 1 до 65 000.
Прежде всего бросаются в глаза скопления простых чисел на диагоналях, но вполне ощутима и другая тенденция простых чисел — выстраиваться вдоль вертикальных и горизонтальных линий, на которых все клетки, свободные от простых чисел, заняты нечётными числами. Простые числа, попадающие на прямые, продолженные за отрезок, который содержит последовательные числа, лежащие на каком-то витке спирали, можно считать значениями некоторых квадратичных выражений, начинающихся с члена 4x². Например, последовательность простых чисел 5, 19, 41, 71, стоящих на одной из диагоналей на рис. 204, — это значения, принимаемые квадратичным трёхчленом4x² + 10x + 5 при x, равном 0, 1, 2 и 3. Из рис. 204 видно, что квадратичные выражения, принимающие простые значения, бывают «бедными» (дающими мало простых чисел) и «богатыми» и что на «богатых» прямых наблюдаются целые «россыпи» простых чисел.
Начав спираль не с 1, а с какого-нибудь другого числа, мы получим другие квадратичные выражения для простых чисел, выстраивающихся вдоль прямых. Рассмотрим спираль, начинающуюся с числа 17 (рис. 205, слева). Числа вдоль главной диагонали, идущей с «северо-востока» на «юго-запад», порождаются квадратичным трёхчленом 4x² + 2x + 17. Подставляя положительные значения x, мы получаем нижнюю половину диагонали, подставляя отрицательные значения — верхнюю. Если рассмотреть всю диагональ и переставить простые числа в порядке возрастания, то окажется (и это приятный сюрприз), что все числа описываются более простой формулой x² + x + 17. Это одна из многих «производящих» формул для простых чисел, открытых ещё в XVIII веке великим математиком Леонардом Эйлером. При x, принимающем значения от 0 до 15, она даёт только простые числа. Следовательно, продолжив диагональ до тех пор, пока она не заполнит квадрат 16×16, мы увидим, что вся диагональ заполнена простыми числами.
Самый знаменитый квадратичный трёхчлен Эйлера, производящий простые числа, x² + x + 41, получится, если начать спираль с числа 41 (рис. 205, справа). Этот трёхчлен позволяет получить 40 последовательных простых чисел, заполняющих всю диагональ квадрата 40×40! Давно известно, что из 2398 первых значений, принимаемых этим трёхчленом, ровно половина простые. Перебрав все значения знаменитого трёхчлена, не превышающие 10 000 000, Улам, Стейн и Уэллс обнаружили, что доля простых чисел среди них составляет 0,475... . Математикам очень бы хотелось открыть формулу, позволяющую получать при каждом целом x различные простые числа, но пока такой формулы обнаружить не удалось. Может быть, её и не существует.
3332313029
3421201928
3522171827
3623242526
3738394041
  
5756555453
5845444352
5946414251
6047484950
6162636465
Рис. 205. Диагонали, заполненные простыми числами, порождаемыми квадратичными трёхчленамиx² + x + 17 (слева)  и  x² + x + 41 (справа).

Спираль Улама подняла много новых вопросов, относящихся к закономерностям и случайностям в распределении простых чисел. Существуют ли прямые, на которых лежит бесконечно много простых чисел? Какова максимальная плотность распределения простых чисел вдоль прямых? Существенно ли различаются плотности распределения простых чисел в квадрантах «скатерти» Улама, если считать, что она продолжается неограниченно? Спираль Улама — забава, но её следует принимать всерьёз.
Автор: на Комментариев нет:

Вселенная между мгновением и вечностью

Каких-нибудь пятьдесят-шестьдесят лет тому назад то, о чем здесь было рассказано, еще не приходило в голову даже самым проницательным мыслителям. Теперь оно становится всеобщим достоянием. А то, что многие вопросы еще не решены, ни в коей мере не умаляет значения уже достигнутого. Это обычное состояние науки, которая по самой своей природе чужда косности и застоя, не приемлет авторитарности и догматизма, находится в постоянных исканиях, отвечает на бесконечные «почему», ошибается и исправляет ошибки, совершая свой нескончаемый путь к вечно ускользающей истине.
Большие художники всегда имели собственный взгляд на мир. Нередко их интуитивное восприятие позволяло пристальнее вглядеться в суть окружающих нас вещей и отыскать закономерности, которые впоследствии находили научное подтверждение. Картина голландского художника М. Эшера «Другой мир».
С давних пор – вот уже более двух тысячелетий (а быть может, и много дольше) живут бок о бок три подхода к восприятию и осмыслению окружающего нас мира.
Один из них и, вероятно, самый древний – это искусство, стремление проникнуть в суть вещей через внелогическое отображение, которое принято называть интуитивным: оно недоказуемо и не вытекает из непреложных научных фактов. Пример такого суждения – эпиграф, выбранный для статьи. Так более семидесяти лет тому назад, на заре становления современных представлений о структуре и свойствах микромира, поэт, философ, мыслитель Валерий Брюсов с непостижимым прозрением, присущим большому художнику, выразил в изящной метафорической форме свой взгляд на глубинную сущность окружающей нас природы. Его догадка блестяще выдержала проверку временем и ныне подкреплена реальным знанием. Хотелось бы, однако, сразу же отделить интуитивное суждение от бытующего пока еще, к сожалению, термина «озарение» – знание, якобы полученное свыше. Коренное различие между этими двумя понятиями заключается в том, что интуиция – исключительное умение обобщить конкретные знания и опыт, между тем как «озарение» не включает в себя ничего, кроме очковтирательства и шарлатанства.
Второй подход – научный, последовательное изучение законов природы и свойств материи. Он опирается на эксперимент и строгие логические построения. Искусство и наука отнюдь не антагонистичны, наоборот, они взаимно дополняют друг друга. Уже давно замечено, что стройная логика сама по себе никогда не приводит к выдающимся и в особенности к революционным научным открытиям. Напротив: они, как это на первый взгляд ни парадоксально, часто делаются вопреки логике, преодолевая ее ограниченность на крыльях гениальной догадки, обобщающей накопленный опыт. Два выдающихся примера дает нам физика двадцатого века. Это, во-первых, теория относительности, которая возникла на руинах логически безупречных и «совершенно очевидных» представлений о пространстве и времени, никак друг с другом не связанных. Во-вторых, это квантовая механика, которая покончила, казалось бы, вопреки здравому смыслу, с убеждением (лучше сказать – заблуждением) в абсолютном различии между волнами и частицами. Эти примеры (можно было бы привести еще много других) показывают, что великое открытие в науке требует не только высочайшего профессионализма, но и способности проникнуть в глубинную суть вещей и подняться над канонической схемой мышления. Тогда, обобщив накопленный в науке опыт, ученый может вынести парадоксальное интуитивное суждение, которое, конечно же, опять подлежит проверке опытом.
Наконец, есть третий подход – теологический. Он противостоит прежде всего научному по самой своей сути, поскольку зиждется на вере в сверхъестественное божественное начало и не апеллирует к эксперименту. Конечно, мы ни в коем случае не покушаемся на священное право каждого человека верить в Бога или быть атеистом. Единственное, что представляется нам неприемлемым – это стремление подменить объективное и нелицеприятное знание какой бы то ни было априорной или субъективной концепцией.
Так пополняются и совершенствуются наши знания. Повседневный опыт и наблюдения позволяют выработать ряд основополагающих научных принципов. На их основе создается теория, которую подтверждают экспериментальные проверки. Но с ростом точности эксперимента появляются новые данные, приходящие в противоречие с теорией. Их появление заставляет выдвигать новые основополагающие принципы, которые, однако, не отвергают старые, а расширяют и дополняют их.
Но для многих в религии есть и своя притягательная сила: вера не требует интеллектуального напряжения – она преподносит все истины в окончательном и неизменном виде. Как бы ни архаично выглядел такой подход, опровергнуть его невозможно. Последовательный идеализм представляет собой безупречное логическое построение: нельзя доказать ни существование, ни отсутствие Бога, опираясь только на формальную логику. Если бы дело обстояло иначе, борьба между наукой и религией закончилась бы уже давно. Единственным оружием науки в этой борьбе служит опыт, эксперимент, позволяющий рано или поздно дать разумное объяснение всему, что казалось невозможным трактовать иначе, как чудо, сотворенное божественной волей. Астрономия уже нанесла много чувствительных ударов по главному – сотворению мира, но она же (а точнее, ее часть, предмет которой изучает возникновение и эволюцию Вселенной – космология) пока еще дает предрассудкам наиболее надежное убежище. Вселенная представляет собой уникальный объект, и невозможно поставить эксперимент, который воспроизводил бы весь долгий путь ее развития, доказав, что нет необходимости в «божественном творении». И все же, благодаря блестящим научным открытиям последних десятилетий, мы сумели очень и очень многое понять и объяснить в процессах, отдаленных от нас на миллиарды лет, – в зарождении и развитии Вселенной.

ВСЕЛЕННАЯ РАСТЕТ

Ошеломительный успех космологии в последние десятилетия связан с двумя выдающимися открытиями двадцатого века, с которых мы и начнем. История вопроса такова.
Каждый элемент таблицы Менделеева характеризуется вполне определенным спектром излучения. Этот спектр служит «визитной карточкой» элемента, по которой его сразу же можно распознать среди всех прочих. Но так дело обстоит только в том случае, если источник излучения неподвижен.
В начале века было обнаружено, что спектры ближайших к нам галактик и их скоплений (туманностей), которые только и были доступны наблюдению в то время, слегка сдвинуты либо в фиолетовую, либо в красную сторону. Причину этого явления поняли сразу – эффект Доплера, изменение воспринимаемой частоты излучения источника при его движении к наблюдателю или от него. В первом случае спектр излучения смещается в сторону больших частот (фиолетовое смещение), во втором – в сторону меньших (красное смещение). Величина смещения тем больше, чем выше скорость источника относительно наблюдателя. Таким образом, сдвиг спектров указывал поначалу только на то, что источник излучения либо приближается к нашей Галактике, либо удаляется от нее. Так, например, туманность Андромеды приближается к Земле со скоростью около 300 километров в секунду, а более удаленное скопление галактик в созвездии Девы движется со скоростью около 1000 километров в секунду от Земли. Однако по мере накопления наблюдательных данных стало выясняться, что подавляющее число туманностей удаляется от Земли и притом тем быстрее, чем дальше от нас туманность. К Земле движется только несколько ближайших галактических систем вроде Андромеды.
Неподвижный источник излучает световую волну постоянной частоты. Приемник излучения ее регистрирует и определяет длину волны принятого излучения. Если источник движется по направлению к приемнику, воспринимаемая длина волны окажется меньше (или, что то же самое, частота излучения будет больше). Если источник удаляется, длина волны окажется больше (частота ниже); спектр излучения будет смещен в красную область. Так возникает красное смещение разбегающихся галактик.
Конечно, это отнюдь не означает, что Земля расположена в центре Вселенной. Общая картина заставила предположить, что Вселенная испытала в далеком прошлом чудовищной силы взрыв, после которого все ее части стремительно полетели прочь друг от друга. Эта точка зрения окончательно восторжествовала после 1929 года, когда американский астроном Эдвин Хаббл, подытожив накопившийся к тому времени обширный наблюдательный материал, сделал вывод, что имеется прямая пропорциональность между расстоянием до галактики и скоростью ее удаления. Весьма примечательно, что такой же результат непосредственно вытекает из так называемого космологического принципа. Последний очень привлекателен с философской точки зрения и попросту сводится к утверждению, что для наблюдателя, где бы он ни находился, распределение движения видимых им галактик по скоростям должно быть одинаковым. Это эквивалентно утверждению, что Вселенная однородна и изотропна, то есть во всех направлениях имеет одинаковые свойства. Читатель может сразу же возразить: более 99 % массы Солнечной системы сосредоточено в самом Солнце, а оставшаяся часть – в планетах, которые вместе с Солнцем занимают лишь ничтожную часть объема системы. Все остальное пространство между ними практически пусто. Какая уж тут однородность и изотропия! И мы, конечно, согласимся с ним, что тут их нет и в помине. Но когда речь идет об однородности и изотропии Вселенной, имеется в виду, что она обладает этими свойствами только в среднем. Причем усреднение следует производить по весьма внушительным пространственным масштабам, заметно превышающим характерные расстояния между соседними скоплениями галактик – порядка 100 миллионов световых лет. А размеры части Вселенной, видимой невооруженным глазом, значительно меньше. Именно по этой причине закон разбегания галактик не стал известен раньше.
Американский астроном Эдвин Хаббл в 1929 году, измеряя величину красного смещения галактик, обнаружил, что все они разбегаются друг от друга, и тем быстрее, чем больше расстояние между ними.
Все галактики (в том числе и Галактика, в которой живем мы, – черный кружок) движутся, увлекаемые общим космологическим расширением. Скорости и направления их движения различны. Но любому наблюдателю (в том числе и земному) будет казаться, что именно он неподвижен, а вся остальная Вселенная разбегается от него в разные стороны.
Его нельзя было установить и проверить без мощных современных телескопов, позволяющих заглянуть весьма далеко в глубины Вселенной. Сегодня мы способны различать крупные звездные образования, удаленные от нас на расстояния до двадцати миллиардов световых лет (2 ·10 23 километров). И по многим причинам полагаем, что это и есть истинный размер, который сейчас имеет наша Вселенная. Такая оценка основана на следующем простом рассуждении. Как уже говорилось, галактики разлетаются с относительными скоростями, пропорциональными их расстоянию друг от друга. Подчеркнем, что это относится к любой паре галактик. Если экстраполировать картину вспять по времени, то неизбежен кажущийся парадоксальным вывод, что когда-то все они, а точнее, вся заключенная в них материя, вылетели из одной точки. Здесь, конечно, необходима большая осторожность. Бездумно переносить действующие сейчас закономерности сколь угодно далеко по времени нельзя, хотя бы потому, что, углубляясь в прошлое, мы сталкиваемся с неограниченно растущей плотностью материи, когда ее свойства нам совершенно неизвестны. Однако вплоть до огромных плотностей – порядка миллиарда тонн в кубическом сантиметре, которые существуют внутри атомных ядер, – мы свойства материи уже знаем, и этого достаточно для оценки. Многолетние наблюдения показали, что скорость разлета галактик возрастает примерно на 15 километров в секунду на каждый миллион световых лет расстояния между ними. Эта величина называется постоянной Хаббла. Самые далекие уносятся от нас со скоростью, приближающейся к скорости света – 300000 километров в секунду. Сопоставив оба факта, находим время, прошедшее с начала разлета. Для этого нужно один миллион лет умножить на отношение скорости света к постоянной Хаббла, то есть на 20000. Получаем двадцать миллиардов лет. Если учесть замедление, вызванное силами гравитационного притяжения, то время расширения оказывается несколько меньше. В известном смысле это время называют возрастом Вселенной.

ВСЕЛЕННАЯ ОСТЫВАЕТ

Вторым крупнейшим достижением астрофизики последних десятилетий стало открытие реликтового излучения. Само название говорит о том, что речь пойдет о явлении, возникшем в незапамятно древние времена. А вот обнаружено это излучение было только в 1964 году американскими радиоастрономами Арно Пензиасом и Робертом Вилсоном. В 1978 году им за это открытие была присуждена Нобелевская премия. Оно сыграло решающую роль в становлении и дальнейшем триумфальном шествии теории «горячей» Вселенной. Но чтобы рассказать о ней, нам придется сделать еще одно отступление в область общей физики.
Мысленный эксперимент, поясняющий механизм возникновения реликтового излучения. Вообразим излучение, которое заключено в ящике с абсолютно черными стенками и находится с ними в тепловом равновесии. Пусть теперь стенки ящика начнут раздвигаться. Объем ящика станет расти, а плотность энергии заключенного в нем излучения, то есть частота излучения и его температура, – падать. Чем дальше отодвигаются стенки, тем ниже становится температура. Когда-то температура молодой Вселенной составляла миллиарды градусов, а чрезвычайно плотная материя «запирала» горячее излучение в очень малом (по космическим масштабам) объеме. В процессе расширения Вселенной температура излучения уменьшилась до трех градусов выше абсолютного нуля.
Представим себе, что внутри ящика с полностью поглощающими стенками заперто электромагнитное излучение и что вся эта система находится в тепловом равновесии. Электромагнитное излучение включает радиоволны, инфракрасное (тепловое) излучение, видимый свет, ультрафиолетовое, рентгеновское и гамма-излучение. Термин «тепловое равновесие» означает, что излучение, попадая на стенки, отдает им ровно столько энергии, сколько стенки излучают обратно в ящик. Как при таких условиях распределится интенсивность излучения по частотам или, что то же самое, по длинам волн? Этот вопрос довольно долго мучил физиков и был решен выдающимся немецким ученым Максом Планком всего лишь за несколько недель до начала нашего века* (см. «Наука и жизнь» №№ 5 и 6, 1996 г.). Выяснилось, что это распределение полностью определяется температурой стенок, причем по мере роста частоты (уменьшения длины волны) его интенсивность сначала возрастает, затем при определенной частоте, растущей с температурой, достигает максимума, после чего начинает падать, приближаясь к нулю при очень больших частотах. Поэтому излучение обычно характеризуют температурой: распределение его энергии по частотам, то есть энергетический спектр, описывается знаменитой формулой Планка, в которую следует подставить соответствующую температуру. Эта формула и положила начало всей современной квантовой физике.
Что произойдет, если убрать стенки? Очевидно, что тогда излучение начнет свободно распространяться в окружающее пространство, словно газ, выпущенный из сосуда. При этом плотность его энергии будет убывать обратно пропорционально занимаемому им в каждый данный момент объему (поскольку его полная энергия – произведение плотности энергии на объем – остается неизменной). Значит, будет убывать и его температура. Но это означает, что максимум излучения будет приходиться на все меньшие и меньшие частоты или, что то же, на все более длинные волны. Другими словами, при расширении в свободное пространство волны излучения как бы растягиваются и весь его спектр смещается в сторону меньших частот: гамма-излучение постепенно переходит в рентгеновское, оно, в свою очередь, в ультрафиолетовое и так далее.
Кривая Планка связывает температуру, энергию и частоту излучения. Каждой температуре отвечает своя кривая. С ростом температуры максимальная энергия излучения приходится на все более высокую его частоту.
Спрашивается, какое все это имеет отношение к астрофизике? Оказывается, самое непосредственное. Именно так возникло реликтовое излучение, которым заполнена вся Вселенная.
Когда-то, очень давно, плотность материи была чрезвычайно велика. Энергично взаимодействуя с излучением, материя препятствовала его свободному расширению. Другими словами, она играла роль того самого ящика с полностью поглощающими стенками. По мере расширения Вселенной плотность материи постепенно уменьшалась, а температура падала. Наконец, наступил момент, когда излучение стало настолько слабо взаимодействовать с веществом, что смогло распространяться практически свободно – стенки ящика стали прозрачными. Принято говорить, что в этот момент излучение оторвалось от вещества. Сейчас температура излучения упала почти до трех градусов по абсолютной шкале температур (около – 270° С). При этом максимум его энергии приходится на длину волны, несколько меньшую одного миллиметра. Оно почти однородно. Это означает, что измерения, проведенные в любой точке Вселенной, должны дать почти одинаковые результаты. И оно почти изотропно в системе центра масс Вселенной. Это означает, что оно почти одинаково по всем направлениям в любой координатной системе, в которой Вселенная как целое неподвижна (то есть в системах, где движения ее частей – галактик, туманностей – взаимно уравновешивают друг друга). Приходится лишь удивляться тому, что реликтовое излучение не было обнаружено значительно – лет на двадцать-тридцать – раньше, поскольку для этого уже тогда имелись все возможности. Единственное объяснение этому состоит в том, что его просто не искали и не знали, что нужно искать. Ведь Пензиас и Вилсон тоже наткнулись на него совершенно случайно.
Арно Пензиас и Роберт Вилсон возле рупорной антенны, которая в 1964 году приняла радиоволны длиной около миллиметра, идущие из всех точек небосвода, – реликтовое излучение.
Очень интересен вопрос, как движется наша Земля относительной такой неподвижной системы координат. Это в принципе можно установить, используя все тот же эффект Доплера, который, кстати говоря, служит не только уникальным средством изучения относительных скоростей очень удаленных космических объектов. По смещению спектральных линий сейчас можно определять скорости самолетов и автомобилей. Точность приборов теперь настолько высока, что при желании можно было бы таким способом измерять даже скорости пешеходов.
Созвездие Льва. Солнечная система вместе с Землей летит в его направлении со скоростью 390 километров в секунду.
Если бы Земля покоилась в системе координат, где излучение изотропно, то куда бы мы ни направили наш прибор, он «увидел» бы совершенно одинаковый спектр. Это фактически и есть определение изотропии. Если же Земля движется относительно этой системы, то, в силу эффекта Доплера, воспринимаемый наземным прибором спектр излучения будет различен в зависимости от того, как ориентирован этот прибор. Направленный по скорости Земли прибор «увидит» несколько более жесткий, смещенный в сторону коротких волн спектр, чем прибор, направленный в противоположную сторону. Иначе говоря, температура реликтового излучения в направлении движения Земли должна казаться несколько выше. Соответствующий эксперимент был бы весьма прост, двигайся Земля достаточно быстро. Первые же измерения показали, однако, что дело будет нелегким, поскольку отношение ее скорости к скорости света хотя и не ноль, но весьма мало. Но, как это бывало всегда, трудности лишь подогрели усилия, и в конечном счете анизотропия, зависимость частоты от направления, была обнаружена с помощью аппаратуры, установленной на высотном самолете. Оказалось, что антенна, направленная на созвездие Льва, «видит» излучение с температурой на 0,008 градуса выше, чем антенна, ориентированная противоположно. В пересчете на скорости это означает, что в системе координат, где фоновое излучение изотропно, Земля вместе с Солнечной системой движется со скоростью (390+60) километров в секунду (+60 – возможная неточность измерений) в направлении созвездия Льва. Это лишний раз подтверждает, что положение Земли и вообще всей Солнечной системы во Вселенной ничем не выделено.
Итак, кратко подытожим то, что уже знаем. Во-первых, в течение времени порядка двадцати миллиардов лет (конечно, это цифра оценочная: истинное время может оказаться, скажем, десять или двадцать пять миллиардов лет) Вселенная, в среднем однородная и изотропная, расширяется, причем из-за гравитационного взаимодействия скорость ее расширения растет со временем.И, во-вторых, вся Вселенная равномерно заполнена реликтовым (или, как его еще называют, – фоновым) излучением, которое возникло почти в самом начале и свободно расширяется вместе с ней. С течением времени оно постепенно остывает и сейчас имеет температуру около трех градусов по абсолютной шкале, то есть около –270° С.
В первые мгновения своей жизни Вселенная представляла собой множество областей, информативно друг с другом не связанных. Их расширение, происходившее в полном согласии со специальной теорией относительности, вызвало раздувание Вселенной со скоростью, намного превосходящей скорость света. Рисунок голландского художника М. Эшера «Относительность».

ГОРЯЧАЯ ВСЕЛЕННАЯ: ПУТЕШЕСТВИЕ В ПРОШЛОЕ

Теперь давайте представим себе, что мы обладаем машиной времени, и мысленно пустим стрелки часов вспять. Чем дальше мы спустимся в глубь веков, вернее, в глубь миллионов веков – тем меньшей и более горячей предстанет перед нами Вселенная. Но пройдет очень много времени, минут миллиарды лет, останется позади более 90 % длительности всего нашего путешествия к началу расширения, за окном нашей машины исчезнет все живое, галактики станут наползать одна на другую, расплавятся и закипят даже самые жаропрочные вещества, а Вселенная по-прежнему будет прозрачной для электромагнитного излучения. Оно, как и сейчас, будет почти беспрепятственно доходить даже из самых удаленных ее уголков. В этом отношении свойства Вселенной как физического объекта останутся неизменными. Так будет продолжаться до тех пор, пока Вселенная не станет такой маленькой, что температура фонового излучения перевалит за три тысячи градусов. Тогда картина за окном нашей машины начнет быстро меняться. Одна за другой исчезнут из поля зрения галактики и их скопления, на окно наползет однородная раскаленная мгла, в которой ничего нельзя будет различить.
Физическое состояние вещества, наполняющего Вселенную, изменилось. Фоновое излучение разогрелось до такой степени, что значительная часть составляющих его фотонов достигла энергии, достаточной для ионизации атомов вещества. Поэтому длина свободного пробега фотонов резко сократилась: они начали энергично взаимодействовать с электронами атомов, ионизуя их и рассеиваясь на них. Пришел конец свободному распространению электромагнитного излучения, которое теперь стало накрепко связано с веществом. Вместе с ним излучение образовало однородную плотную плазму, состоящую из интенсивно взаимодействующих между собой фотонов, электронов и ионов. Это явление называют фазовым переходом. Расчет показывает, что описанный только что фазовый переход мы увидим в совсем юной Вселенной – ей тогда было всего около семисот тысяч лет. В новой фазе фотоны постоянно гибнут – поглощаются веществом и нарождаются вновь – излучаются веществом, но при этом их полное число не изменяется: скорости их гибели и рождения одинаковы. Температуры фотонного газа и вещества выравниваются. (Вероятно, нет нужды доказывать, что в той фазе, в которой мы сейчас живем, эти температуры сильно различаются.) Между ними устанавливается тепловое равновесие. Но две другие безмассовые частицы – нейтрино и гравитоны – по-прежнему слабо связаны с веществом, которое пока еще остается для них прозрачным, и они распространяются практически беспрепятственно.
Другими примерами фазовых переходов служат хорошо известные изменения агрегатного состояния вещества: скажем, плавление льда или кипение воды. Общим для всех фазовых переходов – и это будет очень важно для нас в дальнейшем – оказывается то, что в результате любого фазового перехода изменяется степень внутренней симметрии вещества. Высокотемпературная фаза всегда более симметрична, чем низкотемпературная. Жидкость более симметрична, чем соответствующее твердое вещество (для определенности мы здесь имеем в виду кристалл), поскольку жидкость полностью однородна, а кристалл представляет собой упорядоченную структуру атомов с определенными промежутками между ними. Газ более симметричен, чем жидкость, поскольку его атомы почти не связаны между собой и могут не только занимать любые положения в пространстве, но и заполнять его с произвольной плотностью. Наконец, плазма еще более симметрична, так как в ней сами электроны уже больше не связаны с ядрами атомов, и поэтому в любой точке можно с равной вероятностью встретить как положительный, так и отрицательный заряд, в то время как все атомы газа электрически нейтральны. Кроме того, утрачивается возможность говорить об излучении и веществе по отдельности, так как они интенсивно взаимодействуют друг с другом. Мы видим, что повышение внутренней симметрии по существу тесно связано с ростом хаотичности, неупорядоченности в системе. Или, другими словами, с уменьшением числа параметров, пригодных для ее описания, с потерей информации, которая позволила бы различать любые две точки внутри системы. Мы призываем обратить пристальное внимание на этот пункт, хотя он, видимо, наиболее труден для понимания.
Вряд ли нужно доказывать, что, пытаясь создать ту или иную теорию, мы всегда вынуждены прибегать к известной идеализации, то есть пренебрегать второстепенными явлениями и сосредоточиваться только на том, что представляется принципиально важным. Однако по мере развития теории можно незаметно для себя коснуться и таких вопросов, где принятая идеализация недопустима, поскольку она начинает влиять на результат исследований. Необходимо распознать эту опасность вовремя и соответствующим образом изменить постановку задачи. В своем воображаемом путешествии вспять по времени мы уже вступили в такую фазу. Теперь всякие непосредственные наблюдения становятся невозможными, и дальше нам придется двигаться, опираясь только на силу своего разума.
Итак, продолжим наше путешествие. Пройдет совсем немного времени – каких-нибудь две-три сотни тысяч лет – и окажется, что плотность энергии излучения сначала сравнялась, а затем стала больше и много больше плотности полной энергии вещества (ее, конечно, следует вычислять в соответствии со знаменитой формулой Эйнштейна E = mc 2 ). Это не повлечет за собой нового фазового перехода. Но почти весь период времени, в течение которого температура Вселенной была больше четырех тысяч градусов, принято называть эрой излучения, поскольку оно доминирует в общем энергетическом балансе. Существенные изменения наступят только тогда, когда от начала расширения нас будет отделять всего лишь немногим более трех минут. С этого момента события разворачиваются с головокружительной быстротой, и счет пойдет не на века и даже не на дни и часы, а на минуты и секунды.
Итак, от конечной цели нас отделяет около двухсот секунд. Температура Вселенной примерно миллиард градусов, в 70 раз выше, чем сегодня в центре Солнца. Быстро исчезают последние «тяжелые» ядра гелия, дейтерия, трития: их разбивают фотоны. Остаются только протоны – ядра атомов водорода – и нейтроны, причем протонов значительно больше: 86 %, в то время как нейтронов только 14 %. Дело в том, что в отличие от протонов нейтроны не стабильны и каждые 1000 секунд половина из них распадается, рождая протон, электрон и антинейтрино.
Мчимся дальше. И вот от начала расширения нас отделяет всего около 14 секунд. Температура Вселенной три миллиарда градусов. Энергии большинства фотонов уже достаточно, чтобы при взаимодействии с веществом порождать электрон-позитронные пары (позитрон – это электрон с положительным электрическим зарядом). Это знаменует собой следующий фазовый переход: при более высоких температурах позитроны населяют плазму практически наравне с электронами. Они рождаются и гибнут (аннигилируют) с одинаковой скоростью, которая зависит только от температуры, то есть приходят в тепловое равновесие с излучением. Доля нейтронов постепенно возрастает, поскольку энергии фотонов и электронов начинает хватать на то, чтобы при взаимодействии с протонами рождать нейтроны.
Когда нас будет отделять от начала расширения всего лишь 1,1 секунды, температура достигнет десяти миллиардов градусов. Плотность вещества возрастет настолько, что оно станет непрозрачным даже для нейтрино и антинейтрино, которые, подобно электромагнитному излучению, окажутся запертыми внутри вещества. Ничего особенного при этом не произойдет, кроме того, что нейтрино и антинейтрино придут в тепловое равновесие с электронами, позитронами и фотонами: все они будут постоянно уничтожаться и рождаться, взаимодействуя друг с другом. Нейтронов становится еще больше, и теперь на их долю приходится около 40 % всего ядерного вещества.
Наконец, мы уже почти у цели. Нас отделяет от нее всего одна сотая секунды. Температура Вселенной около ста миллиардов градусов. Вселенная представляет собой почти идеальный релятивистский газ в состоянии почти полного теплового равновесия. Идеальным принято называть газ из частиц, не взаимодействующих друг с другом. Протонов и нейтронов теперь поровну. В течение всей прослеженной нами истории их полное число остается неизменным: в отличие от других частиц – фотонов, электронов и позитронов, нейтрино и антинейтрино. Нуклоны (протоны и нейтроны) не могут рождаться и уничтожаться: даже при температуре в сто миллиардов градусов для этого все еще слишком холодно. Нуклоны пока могут только переходить друг в друга, хотя плотность энергии (E = mc 2 ) уже отвечает массе около пяти миллионов тонн в каждом кубическом сантиметре. При такой плотности вещества вся масса нашей Земли уместилась бы в объеме порядка одного кубического километра.

РУБЕЖ НЕИЗВЕСТНОСТИ

Теперь остановимся и переведем дух, тем более, что дальше двигаться довольно опасно. Опасно не потому, что слишком повышаются температура и плотность Вселенной – они уже давно вышли далеко за рамки всего того, что может представить себе даже самое необузданное воображение. Дело тут в другом. Становится опасным применять те теоретические концепции и методы, на которых мы основывались до сих пор. Вероятно, у реалистически мыслящего читателя уже закралось подозрение: не слишком ли беспечно и самоуверенно позволяют себе астрофизики судить о том, чего никто никогда не видел и не увидит? Знают ли они насамом-то деле, о чем говорят?
Вопрос более чем законный, и отмахнуться от него никак нельзя. Действительно, уязвимость науки об эволюции Вселенной в том, что предмет исследования невоспроизводим, теорию здесь нельзя подвергнуть прямой экспериментальной проверке. И все же есть много косвенных указаний, внушающих доверие, много фактов удается увязать единым и стройным, логически непротиворечивым образом. О двух из них – красном смещении и реликтовом излучении уже говорилось выше. Сейчас упомянем только еще об одном: наблюдаемое сейчас в космическом пространстве двадцатишестипроцентное содержание гелия также прекрасно вписывается в эту картину. К тому же, несмотря на многочисленные попытки, до сих пор не предложено ни одной серьезной альтернативы картине, которая получила название модели горячей Вселенной.
Но теперь мы вплотную подошли к тому рубежу, когда физическая идеализация, на которой мы все время основывались, становится непригодной (при построении теории идеализация необходима, но о ней постоянно нужно помнить). До сих пор мы рассматривали совокупность частиц, населяющих горячую Вселенную, как идеальный газ. Такая идеализация пригодна до тех пор, пока речь идет о гравитационных, слабых и электромагнитных взаимодействиях, поскольку их роднит одно общее свойство: все они сравнительно слабые. Однако за температурным рубежом в сто миллиардов градусов плотность энергии становится настолько высокой, что начинают рождаться адроны, и в первую очередь пи-мезоны (пионы). При температуре порядка тысячи миллиардов градусов этот процесс уже идет полным ходом. Но адроны взаимодействуют друг с другом сильно, и их уже никак нельзя считать точечными частицами. Поэтому мы вынуждены с большим сожалением отказаться от представления о Вселенной как об идеальном газе. А описывать неидеальный релятивистский газ сильно взаимодействующих частиц мы не умеем. Таким образом, пытаясь продвинуться еще ближе к началу расширения, мы вступаем на довольно зыбкую почву.
Правда, при температурах выше десяти тысяч миллиардов градусов мы, быть может, снова почувствуем себя несколько уверенней. Но следует сразу же сказать, что степень нашей уверенности уже далеко не та, с какой мы приближались к одной сотой секунды. Дело в том, что при таких температурах и плотностях все адроны, включая протоны и нейтроны, из которых сейчас почти полностью состоит все сущее, будут раздавлены, в результате чего освободятся составляющие их кварки и глюоны. Эти частицы, которые еще сравнительно мало изучены, отмечены одним совершенно удивительным свойством: по мере увеличения их энергии и плотности, то есть числа в единице объема, они все слабее взаимодействуют друг с другом. Но это означает, что при еще более высоких температурах Вселенная опять-таки представляла собой столь милый нашему сердцу идеальный газ. В нем, однако, в тепловом равновесии наравне с другими, много раз упоминавшимися выше частицами, находились уже и кварки и глюоны.
Теперь можно довольно уверенно продвинуться еще немного вспять – до времен порядка одной десятитысячной секунды. Им отвечают температуры около миллиона миллиардов градусов. Начинает восстанавливаться симметрия между электромагнитным и слабым взаимодействиями (см. «Наука и жизнь №№ 8, 9, 1996 г.), но Вселенная при этом не претерпевает каких-либо существенных потрясений.
Можно по-разному относиться ко всему, что было сказано (эксперимент невоспроизводим!), но по совокупности теории и наблюдений представляется почти несомненным, что так оно и было в действительности. На этом можно было бы остановиться, но имеется ряд обстоятельств, порождающих ощущение неудовлетворенности, и еще остается вечный сакраментальный вопрос: а что же было еще раньше?
Первая часть проблемы может быть решена в рамках сценария раздувающейся Вселенной, который можно охарактеризовать словом «правдоподобный». (Непривычное для научного обихода театральное словечко «сценарий» стало общеупотребительным при обсуждении данного круга вопросов. Вероятно, потому, что здесь имеется гораздо больший простор для фантазии, чем это обычно принято в научных исследованиях.) Что же касается второй части, то тут пока приходится ограничиваться некоторыми теоретическими догадками, о которых с почти равным правом можно сказать, что так могло быть, а могло и не быть. Но все же рискнем предпринять экскурс в эту бесконечную даль.

РАЗДУВАЮЩАЯСЯ ВСЕЛЕННАЯ

Почему же нас не вполне устраивает добротная теория горячей Вселенной? Упомянем только две наиболее очевидные причины. Первая – это проблема крупномасштабных неоднородностей (напомним в этой связи о слове «почти» там, где речь шла о реликтовом излучении) и тесно связанный с ней вопрос: чем обусловлено возникновение галактик и их скоплений? Вторая – это проблема барионной асимметрии: почему во Вселенной имеется огромная масса вещества (барионов), но почти нет антивещества и почему на каждый миллиард фотонов приходится только один барион? Эти и многие другие, менее очевидные, но тоже требующие ответа вопросы можно прояснить, если принять, что в коротенький, но очень важный период своей истории – в «возрасте»от 10 – 43 секунды до 10 – 35 секунды – Вселенная не просто расширялась, а раздувалась. Отсюда и название соответствующего сценария. Раздувание – это тоже расширение, но только идущее с совершенно невообразимой скоростью, гораздо большей скорости света. Потрясения, которые «пережила» Вселенная за это ничтожное время – 10 – 35 секунды, – поистине грандиозны.
Здесь приходится с сожалением отказаться от движения вспять по времени, которое вело нас на протяжении всей статьи. Для рассказа о раздувании Вселенной этот прием категорически противопоказан; теперь мы будем двигаться вперед – в сторону возрастания времени.
В момент времени 10 – 43 секунды Вселенная очутилась в состоянии с относительным минимумом потенциальной энергии, которое называется ложным вакуумом. Это состояние было абсолютно неустойчивым, и Вселенная начала стремительно раздуваться со скоростью, гораздо большей скорости света.
Сценарий раздувающейся Вселенной базируется на предположении, что, будучи 10 – 43 секунды от роду, относительно холодная Вселенная очутилась в состоянии, которое принято называть ложным вакуумом. Ложным его нарекли потому, что этому вакууму отвечает относительный минимум потенциальной энергии, который отделен лишь сравнительно низким потенциальным барьером от другого, намного более глубокого минимума, именуемого истинным вакуумом. Их различие обусловлено тем, что внутренние симметрии материи, находящейся в состоянии истинного и ложного вакуума, неодинаковы. Если принять плотность энергии истинного вакуума за ноль, то у ложного вакуума она положительна. Но для любого вакуума сумма давления и плотности энергии равна нулю, а это значит, что внутри ложного вакуума давление отрицательно. Такое состояние абсолютно неустойчиво и должно проявить непреодолимую склонность к стремительному расширению. Так, вдребезги разлетелись бы атмосфера, Земля, Солнечная система, звезды и галактики, если бы гравитация вдруг сменилась антигравитацией, то есть отрицательным давлением. Тогда всё, что сейчас притягивается гравитационными силами друг к другу, стало бы взаимно отталкиваться, подобно одноименным электрическим зарядам. В этом и состоит причина раздувания Вселенной, находившейся в состоянии ложного вакуума. И, как уже отмечалось, скорость возрастания размеров Вселенной во много раз превосходила скорость света.
Эти слова обычно вызывают недоумение и даже внутренний протест почти у каждого, кто слышит их впервые, поскольку, на первый взгляд, они противоречат специальной теории относительности (СТО). В действительности же никакого противоречия нет. Необходимо помнить, что СТО ограничивает только скорость распространения сигнала (информации). Поэтому в момент времениt0 = 10 – 43 секунды информативно связанными будут только элементы пространства, размер которых не превышает r0 = ct0 = 3 ·10 – 33 сантиметра. Если при этом размер Вселенной намного больше (R1 >> r0 ), то «наблюдатели», удаленные друг от друга более чем на 3 ·10 – 33 см принципиально (в полном соответствии с СТО!) не смогут ни узнать о существовании соседей, ни обменяться информацией, что, по сути, одно и то же. Таким образом, опираясь на СТО, можно только утверждать, что внутри каждого элемента пространства размером 3 ·10 – 33 сантиметра относительная скорость движения различных точек ограничена скоростью света в пустоте c. Тогда при раздувании каждого из этих элементов со скоростью c размер всей Вселенной должен был возрастать со скоростью V = (R1 / r0 ) · c >> c. Например, если в момент времени t = 10 – 43 секунды Вселенная имела радиус около сантиметра, то скорость ее раздувания была порядка 0,3 ·10 33 c.
Раздувание Вселенной началось в момент времени t0 = 10 – 43 секунды. Любой сигнал, двигаясь со скоростью света, не успеет за это время выйти за пределы области, ограниченной радиусом r = ct0 = 3 ·10 – 33 см. Это значит, что весь объем Вселенной оказался как бы разбитым на множество элементов, не имеющих причинно-следственных связей, так, что ее радиус R1 = 2nr0 . Если каждый элемент расширялся со скоростью света c, через время t их радиусы увеличились до r1 = r0 + ct. Вселенная за это же время выросла до размеров R2 = 2n(r0+ ct). Это означает, что скорость раздувания Вселенной была равна V = (R2 – R1 ) / t = [2n · (r0 + ct) – 2nr0 ] / t = 2nc = (R1 / r0 ) · c. Если в этот момент размер Вселенной не превышал сантиметра, она должна была раздуваться с неимоверной скоростью 3 ·10 32 c!
Можно вспомнить и другой общеизвестный пример сколь угодно большой скорости: движение границы светового «зайчика» по плоскости, на которую световая волна падает под углом, близким к 90°. Тут тоже все в порядке: это не есть движение материальной точки, и никакой сигнал вдоль плоскости таким способом передать невозможно.
При падении плоской световой волны на поверхность под острым углом α граница светового зайчика движется со скоростью V, превышающей скорость света c: V = c / sin α.
Закончив это отступление, вернемся к быстро взрослеющей Вселенной. Наряду с раздуванием в разных областях обычного пространства случайно и неодновременно происходит ее «просачивание» через потенциальный барьер между ложным и истинным вакуумом. Происходит оно не в обычном пространстве, а в пространстве внутренних параметров – тех самых скрытых симметрий. При этом образуются пузыри нового состояния – состояния с истинным вакуумом. Один из этих пузырей стал прообразом и предтечей той самой Вселенной, в которой мы сейчас живем. Остальные – зачатками других вселенных, которые навсегда останутся вне поля нашего зрения, как бы за вечно убегающим горизонтом.
Здесь мы опять имеем дело с фазовым переходом. Он сопровождается освобождением огромной энергии. Действительно, истинный вакуум намного глубже ложного, а полная энергия, вне всяких сомнений, должна сохраняться. Значит, «наш пузырь» (равно как и любой другой) оказывается теперь высоко возбужденным состоянием. Это выражается в сильнейшем разогреве Вселенной и рождении огромного множества частиц. Отсюда и берет свое начало горячая Вселенная. Из-за очень быстрого расширения на стадии инфляции (раздувания) этот процесс не мог протекать вполне равновесно. Это означает, что в пространстве возникли области с разной плотностью, так что в наследство мы получили Вселенную, которая не вполне однородна. Относительные флюктуации плотности оказались порядка одной тысячной процента. Они могли послужить затравкой для последующего образования галактик. А их след дошел до нас в виде недавно обнаруженной «ряби» реликтового излучения, плотность которого флюктуирует, меняясь на ту же тысячную процента.
В конце процесса инфляции температура Вселенной падает настолько, что разрушается симметрия так называемого Великого объединения трех взаимодействий: сильное начинает жить своей жизнью, а электрослабые – своей. Дальнейшая эволюция Вселенной приводит к ее быстрому остыванию, в ходе которого неизбежно возникает наблюдаемая сейчас барионная асимметрия и устанавливается упоминавшееся выше соотношение между количеством фотонов и барионов. В таком виде Вселенная достигает возраста порядка одной десятитысячной секунды, в котором мы оставили ее, двигаясь вспять по времени.

НАЧАЛО БЕЗ НАЧАЛА

Ну, а что же было еще раньше, до того, как Вселенная стала раздуваться? Согласно оценкам, во времена, меньшие 10 – 43 секунды,ее температура превышала 10 32 градусов, а гравитационные поля были настолько сильны, что порождали частицы. Гравитоны, которые позднее стали разгуливать по Вселенной совершенно свободно, видимо, находились тогда в тепловом равновесии со всей остальной материей. Это не более чем предположение – мы еще слишком мало знаем о свойствах материи при столь экстремальных условиях. И уж заведомо не имеет смысла подходить еще ближе к моменту Большого взрыва, оперируя привычными для нас понятиями времени и пространства. Дело в том, что при таких условиях решающую роль начинают играть уже квантовые свойства гравитационного поля. Их влияние, по-видимому, приводит тому, что привычные для нас понятия пространства и времени вообще утрачивают свой смысл. Квантовые флюктуации гравитационного поля могут настолько изменить пространственно-временную геометрию мира, что утратит смысл само понятие причинно-следственных связей между событиями. А что такое время, как не сама эта связь? Ведь если нельзя четко определить понятия «раньше» и «позже», то что называть временем?
Здесь можно провести аналогию с температурой: никого не удивляет, что говорить о температуре ниже абсолютного нуля бессмысленно. Такого понятия нет просто потому, что при абсолютном нуле в веществе не остается никакой тепловой энергии, которую можно было бы у него отнять. И, значит, нельзя еще более понизить температуру.
Или взять хотя бы другое удивительнейшее «чудо»: скорость, большая скорости света, невозможна. Ведь, если вдуматься, это утверждение с точки зрения повседневного опыта выглядит в высшей степени неправдоподобно. Относительная скорость любых двух тел не может превышать некоторого определенного значения! Казалось бы, почему? И тем не менее всё говорит о том, что это так (см. «Наука и жизнь» № 12, 1979 г.).
Быть может, точно также нельзя говорить и о временах, меньших, скажем, 10 – 43 секунды?
Физики знают и много других, менее общеизвестных, но более близких по смыслу примеров такого рода. Все они связаны с фазовыми переходами в обычном веществе. Каждая фаза характеризуется некоторой величиной, называемой параметром порядка. В ходе фазового перехода эта величина изменяется, а может и вообще утратить смысл, как, например, при переходе от твердого тела к жидкости. Возможно, что и время также служит параметром порядка (кстати, именно такую роль оно играет в повседневном обиходе), понятием, которое может потерять свой смысл в результате фазового перехода при невообразимо огромной температуре и плотности энергии. Можно выразить эту же мысль несколько иначе, сказав, что в первоначальной фазе симметрия материи была настолько высока, что все ее точки были тождественны. Это означало бы, в частности, что никаким способом нельзя «пометить» два момента времени, так как они просто неразличимы. Если так, то вообще бессмысленно задаваться вопросом, сколько времени провела материя в фазе, где самого понятия времени не существует. Отсчет времени следует вести, начиная с того момента, когда материя вышла из той фазы. В каком-то смысле можно было бы сказать, что это был момент рождения времени.

ВМЕСТО ЭПИЛОГА

Заключая повествование, хотелось бы вернуться к его началу. Здесь было рассказано о некоторых достижениях научного метода познания природы. Он позволяет дать утвердительный ответ на вопрос: было ли начало расширения Вселенной и ответить на множество других вопросов, часть из которых обсуждалась выше. Однако на ряд других законных вопросов – почему началось расширение, что было в самом его начале, предшествовало ли ему сжатие и сменится ли оно сжатием – мы пока еще ответить не можем. По всей вероятности, со временем эти загадки также будут отгаданы, но завоеванное знание несомненно породит новые, сейчас еще недоступные нам проблемы.
http://www.modcos.com/
Автор: на Комментариев нет:
Подписаться на: Сообщения (Atom)